براي اين كه يك سيستم را بي­نظم بناميم بايد نشان دهيم كه سيستم وابستگي حساس به شرايط اوليه دارد يعني اين كه دو مسير كه خيلي نزديك به هم شروع مي­شوند خيلي سريع به طور نمايي از هم واگرا شده و آينده متفاوتي پيدا مي­كنند. گفته شد كه وابستگي حساس معادلات ديفرانسيل بي­نظم با نماي لياپانوف تعريف مي­گردد، اكنون اين تعريف را براي نگاشتهاي يك بعدي بسط مي­دهيم.

فرض مي­كنيم x₀ نقطه­اي در لحظه t در روي يك مسير و x₀ + d₀ نقطه­اي نزديك به آن در روي مسير ديگر مي­باشد كه d₀ بي­نهايت كوچك بوده و معرف ميزان اوليه جدايي اين دو نقطه است.  

اگر ميزان جدايي اين دو نقطه بعد از n تكرار(Iteration) توسط d_n نمايش شود و رابطه­اي به صورت

     =|d₀|exp(λⁿ) |d_n| مابين اين دو نقطه برقرار كنيم. در اين صورت مي توان λ  را به عنوان نماي لياپانوف معرفي كرد.

a - با مثبت شدن مقدار λ فاصله دو نقطه در فضاي فاز با نگاشتهاي مكرر، به صورت نمايي افزايش مي­يابد، يعني سيستم به سمت آشوبناك شدن ميل پيدا مي­كند.

b - با منفي شدن مقدار λ مي­توان دريافت كه نقطه ثابت، رفتار پايداري را از خود نشان مي­دهد، يعني سيستم به حالت پايدار مي­رسد.

c - شرط  λ = 0 نيز معرف حالت حاشيه­اي است.

با استناد به رابطه بالا ونيز با لگاريتم گرفتن و انجام يك سري اعمال رياضي، نماي لياپانوف در نهايت به صورت رابطه زير به دست مي آيد:

l = (1/n) S Ln |f '(x_i)|

عبارت به دست آمده زمانی که مخرج کسر به سمت صفر میل کند دارای حدی است که آن را نمای لیاپانوف می نامند.

8- فراكتــالها (fractals): گفته شد كه جوابهاي معادلات لورنتس، به مجموعه پيچيده­اي در فضاي فاز منجر مي­شوند كه جذب كننده­هاي عجيب نام دارند. براي اين كه بتوان چنين جوابهايي را توصيف كرد از فراكتالها كمك گرفته مي­شود. فراكتالها، شكلهاي هندسي پيچيده­اي با ساختاري در مقياسهاي كوچك بوده و داراي خاصيت خودمتشابهي(Self-similarity) هستند يعني اگر قسمت كوچكي از فراكتالها را بزرگ كنيم، ساختاري درست شبيه به ساختار كل مجموعه خواهد داشت. فراكتالها به دليل ساختار زيبا، پيچيده و بي پايانشان، بسيار جالب هستند. آنها يادآور اجسام طبيعي مانند ابرها، كوهها، شبكه رگهاي خون و ... مي­باشند. نمونه­اي از فراكتالها در شكلهای زير نشان داده شده است: